Недавно один из сотрудников Anthropic дал Claude невыполнимую задачу. Она касалась одной из самых известных нерешённых проблем математики: «Попробуй серьезно подступиться к гипотезе Римана».

Claude действительно попытался подступиться, но, как и следовало ожидать, если вам знакома сложность этой задачи (гипотеза Римана датируется 1859 годом, и за её решение назначена награда в миллион долларов), у него ничего не вышло. Тем не менее в процессе этой попытки он неожиданно добился прогресса в связанной задаче.

Невыпущенная исследовательская версия Claude улучшила давно существующую нижнюю оценку для доли нулей дзета-функции Римана, удовлетворяющих гипотезе Римана. Опираясь на обширные предыдущие исследования математиков за последние десятилетия, модель подняла эту границу с 41,6% до 67,2%.

Два математика из Anthropic изучили и подтвердили статью Claude, а также подготовили неофициальную заметку для экспертов, кратко излагающую доказательство Claude. Кроме того, Claude создал формально верифицируемое доказательство своего результата. Мы благодарны Брайану Конри и Дану Голдстону, двум экспертам в этой области, которые щедро согласились ознакомиться со статьёй в сжатые сроки.

Мы не рассчитываем, что использованные Claude методы приведут к доказательству гипотезы Римана. Однако его работа служит очередным примером стремительного прогресса математических возможностей ИИ-моделей. В этом посте мы разберём, как Claude подошёл к этой задаче и к чему он пришёл.

Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана описывает распределение простых чисел: каждая точка, в которой функция принимает значение ноль, дает всё более точные детали для последовательности простых чисел. Гипотеза Римана заключается в том, что нули, определяющие простые числа, лежат на одной определенной вертикальной прямой. Это стала одной из самых важных гипотез в математике: многие результаты опираются на неё, чтобы обеспечить своего рода случайность в распределении простых чисел.

Никому пока не удалось ни доказать, ни опровергнуть гипотезу Римана, но математики продвинулись во многих смежных направлениях, изучая дзета-функцию Римана и её нули. Одно из них, как упоминалось выше, заключается в оценке минимальной доли нулей, находящихся на прямой: со временем эту известную постоянную долю постепенно подняли до 41,6%.

Другое направление касается распределения нулей на прямой. В частности, в 1973 году Монтгомери предложил ряд новых методов в этой области, хотя эти методы предполагали истинность гипотезы. Совсем недавно Арьян, а затем Балует, Голдстон, Суриаджайя и Тернейдж-Баттербо опубликовали серию работ, позволяющих применять методы Монтгомери без этого предположения, что даёт возможность использовать их для увеличения нижней границы доли нулей на прямой. Результат Claude в значительной степени опирается на эту линию исследований, а также на работу Бомбиери 2000 года.

Открытие Claude

Claude обнаружил, что объединение результатов Арьяна, а также Балуета, Голдстона, Суриаджайи и Тернейдж-Баттербо с работой Бомбиери позволяет превзойти предыдущий рекорд в 41,6% нижней границы доли и поднять его до 67,2%.

Краткое техническое объяснение открытия Claude заключается в следующем: Claude формирует подходящее пространство функций с квадратичной формой, индуцированной Вейлем, и положительно- (соответственно отрицательно-) определенными подпространствами, возникающими из нулей на прямой (соответственно вне её). Затем Claude просто записывает неравенство на ранг квадратичной формы через информацию о первом и втором моментах. (Успешное вычисление последнего в терминах двойственной картины по простым числам или через контроль преобразования Гильберта не является сюрпризом в аналитической теории чисел.) Смелость рассмотреть всё пространство целиком, с учётом как положительной, так и отрицательной определённости, а также с допущением недиагональной квадратичной формы, и стала тем шагом, который позволил Claude прийти к выводу на основе важных предыдущих работ.

Полное техническое объяснение доступно в статье. Объяснение самого Claude о том, как он пришёл к своему результату, доступно в отдельном приложении здесь.

Методология Claude

Невыпущенная исследовательская версия Claude получила новую нижнюю оценку за две сессии в Claude Code, потратив в общей сложности 31 миллион токенов вывода.

Джарред Самнер, сотрудник Anthropic (не являющийся математиком), попросил Claude «серьезно подступиться» к самой гипотезе, предоставив выбор математических методов самой модели. Изначально Claude сгенерировал и опробовал 650 идей, ни одна из которых не сработала. Джарред попросил Claude попробовать снова, и тот потратил полтора дня на координацию около 60 субагентов Claude, которые на этот раз зашли гораздо дальше: вместе они выполнили 2400 команд shell и написали сотни скриптов на Python.1 Субагенты провели тысячи численных проверок на известных нулях дзета-функции и рецензировали работу друг друга. На протяжении всего этого процесса участие Джарреда в основном сводилось к отправке поддерживающих сообщений (в основном вариаций «продолжай» или «поверь в себя»).2 Похоже, это помогло Claude преодолеть начальный скептицизм по поводу того, сможет ли он добиться значимого прогресса.

Найдя этот новый результат в процессе работы, Claude проверил своё решение: поручил разным субагентам проверить доказательства, найти контрапримеры, скачать 54 статьи с arXiv, чтобы убедиться, что открытие не было сделано ранее, и независимо передоказать результат с нуля. Claude сам предложил оформить свои результаты в виде статьи и рекомендовал передать её на валидацию специалисту по теории чисел.

Левент Альпоге и Ральф Фурман, математики из штата Anthropic, изучили работу Claude, чтобы понять суть новых результатов и их связь с упомянутыми выше прошлыми исследованиями. Параллельно Claude работал с другим сотрудником, Эриком Исли, над созданием формализации Lean для полученного результата, которая проходит проверку стандартным инструментом comparator.

Прогресс ИИ-моделей в математике

Этот результат показывает, что такие ИИ-модели, как Claude, могут расширять влияние и охват идей математиков новыми и порой неожиданными способами. Хотя модели и не удалось решить саму гипотезу Римана, этот результат появился как побочный продукт выполнения первоначального запроса.

Даже сам Claude был удивлен собственным открытием — сначала он относился к нему скептически, возможно, потому что в процессе обучения усвоил сложность открытых математических проблем и ограничения ИИ-моделей. Но после нескольких подбадривающих промптов он пришёл к описанному результату. Возможно, Claude, как и многие из нас, недооценивает темпы развития ИИ.

Дополнительные материалы

Ниже приведен список документов с более подробной информацией о результате Claude:


 История изменений: этот пост был обновлён 13 августа 2026 года обновлённой версией статьи Claude. Статья была переработана Claude для предоставления более понятного доказательства и дополнительного исторического контекста.